[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Wariancja empirycznych współczynników a i b regresji liniowejWariancja empirycznych współczynników a i b regresji liniowejRozpatrzona zostanie sytuacja, gdy niepewnościami obarczone są jedynie wartości yi (prosta regresji cechy Y względem X, przypadek I).Ponadto wyprowadzone wzory końcowe (9) i (12) są nieobciążonymi estymatorami odpowiednich wariancji i obowiązują dla próbki o dużej liczebności.Niech di=yi-axi-b będą odchyleniami wartości doświadczalnych od prostej regresji.Nieobciążony estymator wariancji zmiennej y, traktowanej jako zmienna niezależna y=f(x), jest określony równaniem(1)Wariancję wartości średniej obliczamy jak dla zwykłej średniej, dlatego(2)Równanie (1) można przekształcić do rachunkowo wygodniejszej postaci(3)Wariancję współczynnika kierunkowego regresji liniowej a obliczamy jako wariancję wielkości mierzonej pośrednio, przyjmując, że a jest funkcją yi.Zatem(4)Pamiętając, żeto (5)oraz (6)Podstawiając (6) do (4), otrzymamy(7)Sumowania po indeksach i oraz k są równoważne, bo są to sumowania po tych samych wartościach.Zamiast k można wstawić i, a następnie wykonać odpowiednie redukcje, dostając(8)Podstawiając (3) do (8) otrzymamy ostatecznie(9)Wariancję współczynnika przesunięcia b regresji liniowej obliczymy z wzoru na wariancję wielkości mierzonej pośrednio, przyjmując, że jest on funkcją i a:.Dlatego(10)Pochodne cząstkowe wyrażają się wzoramiDlatego wzór (10) przyjmie postać(11)Podstawiając (2) do (11) i wykonując stosowne przekształcenia otrzymamy ostatecznie(12)Estymacja przedziałowa współczynnika kierunkowego α prostej regresji y=αx+β cechy Y względem XNa podstawie danej próbki realizację przedziału ufności dla współczynnika α, na poziomie ufności (1-α), wyznacza się ze wzorugdzie ,tν,α jest wartością krytyczną zmiennej losowej Studenta dla ν=(n-2) stopni swobody (patrz rysunek obok).Wyrażenie na wartość współczynnika a podane zostało na poprzednim wykładzie.Estymacja przedziałowa współczynnika przesunięcia β prostej regresji y=αx+β cechy Y względem XRealizację przedziału ufności dla współczynnika β, na poziomie ufności (1-α), wyznacza się ze wzorugdziea pozostałe symbole mają podobny sens jak w poprzednim punkcie.Obszar ufności dla prostej regresji liniowejWspółczynniki regresji liniowej a i b obarczone są niepewnościami Sa i Sb, dlatego prosta regresji nie jest jednoznacznie określona.Wariancja (2) jest miarą niepewności jednego punktu prostej regresji o współrzędnych i może ona być łatwo obliczona z równoważnego wzoru(13).Chcemy znaleźć wariancję innych punktów prostej regresji.W tym celu dowolny punkt prostej przedstawiamy w postaciZ prawa przenoszenia wariancji mamy(14)Obliczmy pochodne cząstkowe(15)Podstawienie (15) do (14) da nam równanie na wariancje dowolnego punktu prostej(16)Jak widać ze wzoru (16) najmniejszą wariancję ma punkt środkowy i rośnie ona z kwadratem odległości od punktu środkowego.Dla małych prób, przy obliczaniu odchylenia standardowego trzeba stosować rozkład Studenta, czyli w praktyce odchylenie standardowe należy pomnożyć przez współczynnik Studenta tν,α odczytany dla poziomu istotności α i o ν=n-2 stopniach swobody (rysunek na poprzedniej stronie).Przedział ufności dla dowolnego punktu prostej regresji zapiszemy zatem następująco.(17)Szerokość przedziału ufności podobnie jak wariancja rośnie wraz z odchyleniem od punktu środkowego prostej regresji.Obwiednie punktów wyznaczonych przedziałami ufności (17) dla różnych punktów xi nazywamy krzywymi ufności prostej regresji liniowej.Dwie pary krzywych ufności, na poziomie ufności 1-α=0.98 i 0.80 przedstawione są na rysunku obok.Obszar zawarty między krzywymi ufności nazywamy realizacją obszaru ufności dla prostej regresji na poziomie ufności 1-α
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Tematy
IndexGolon Anne & Golon Serge Angelika 11 Angelika w Quebecu
Anne McCaffrey Cykl JeŸdŸcy smoków z Pern (11) Wszystkie weyry Pern
Jiddu Krishnamurti 11 Collected Works 8 What Are You Seeking
Mercedes Lackey Cykl Heroldowie z Valdemaru (11
Sara Shepard Pretty Little Liars #11 Olœniewajšce(1)
WSM 16 53 11 pl(1)
Red Hot
Pedersen Bente Roza znad fiordów 01 Uwiedziona
Warren Murphy Destroyer 132 Unnatural Selection
Gabriel Allon 07 Tajny sluga Silva Daniel